FRACTALES

Les fractales – 08/10/2003

Le concept de fractale a permis de comprendre de nombreuses structures et de nombreux phénomènes naturels ou artificiels.

Il a permis de modéliser ces structures et ces phénomènes avec un réalisme parfois impressionnant.

Divers exemples sont donnés dans cet article, mais la compréhension et la modélisation ne débouchent pas forcément sur des applications directes. Par exemple si de nombreuses études ont porté sur la nature fractale des cours boursiers, cela ne signifie nullement que cette théorie permet de prévoir l’évolution de la bourse.

Parmi les domaines intéressants citons entre autres l’explication de certains aspects importants de la structure de l’univers par une répartition fractale ; l’application des fractales à l’étude de la percolationdans les sols (mais un important spécialiste de ce domaine d’application des fractales, employé par une grande compagnie pétrolière, avouait dans un article récent qu’il est nécessaire de compléter l’approche fractale par d’autres études plus traditionnelles) ; la modélisation des plantes par les L-systèmes ; la mise en évidence d’une structure fractale dans des électro-encéphalogrammes pathologiques ; la compréhension et le calcul de certains phénomènes aléatoires (comme les bruits parasites dans les circuits électroniques) qui n’obéissent pas aux lois statistiques traditionnellement enseignées ; les relations étroites entre les théories du chaos déterministe et les fractales (or l’étude du chaos est capitale dans de nombreux domaines allant de l’hydrodynamique à l’évolution de certaines populations animales, en passant sur les conditions de stabilité, ou d’instabilité, des émissions des lasers).

Mais il y a peu d’applications directes. Incontestablement un domaine qui a fait l’objet de nombreuses études est la compression d’images par des procédés dérivés des IFS. Toutefois malgré des résultats prometteurs cette méthode n’a pas détrôné la compression JPG que tout le monde connaît, même si ses résultats rivalisent avec cette méthode classique. Un autre domaine d’application est la fabrication d’antennes radio fractales. Leur intérêt est, par reploiement, d’occuper une faible place tout en ayant un très bon rendement dans le domaine multi-bandes ou large bande d’émission.

Mais le domaine où les fractales sont les plus exploitées est celui de l’art graphique ou, dans une moindre mesure, musical. En première ligne viennent les images provenant de l’itération de polynômes complexes mais d’autres techniques, en particulier les IFS sont également employées. Des paysages fractals de synthèse ont été utilisés par exemple dans le film de science fiction Star Treck II.

Un autre dossier sera consacré prochainement à l’utilisation artistique des fractales.

A découvrir également le dossier d’Evelyne Lutton :

Bio-inspirations, fractales, complexité et émergence

Sommaire

  1. Les fractales
  2. Mandelbrot et les fractales
  3. Les fractales ont des propriétés paradoxales
  4. Les différents types de fractales
  5. Les fractales « naturelles »
  6. Fractales géométriques
  7. Itération de polynômes complexes – ensembles de Mandelbrot et de Julia
  8. Les quaternions
  9. Les paysages fractals
  10. À quoi les fractales servent-elles ?

Définir correctement ce qu’est une fractale n’est pas simple et certaines définitions trouvées dans divers articles sont inexactes ; Mandelbrot lui-même a varié dans ses propos……..« objet fractal » et « fractale », termes que je viens de former, pour les besoins de ce livre, à partir de l’adjectif latin fractus, qui signifie « irrégulier ou brisé ». Fractale. n.f. Configuration fractale. Ensemble ou objet fractal.

Rarement une notion mathématique aura eu autant de succès auprès de publics divers. La raison en est due en bonne partie au zèle mis par Benoît Mandelbrot, le « père » de cette branche des mathématiques, à la diffuser et par celui de ceux qui ont emboîté ses pas pour l’utiliser dans de très nombreux domaines. En particulier les livres de Mandelbrot « Les objets fractals » et « The fractal geometry of Nature » n’ont pas cessé d’être réédités et ont été lus par un nombre considérable de personnes d’horizons et de cultures très divers. Mais il y a au moins deux autres bonnes raisons : la première est que le concept lui-même a un côté fascinant parce qu’il conduit à une certaine forme d’infini ; la deuxième est qu’il est possible de produire des images étranges et d’une grande beauté en utilisant les mathématiques fractales.

Définir correctement ce qu’est une fractale n’est pas simple et certaines définitions trouvées dans divers articles sont inexactes ; Mandelbrot lui-même a varié dans ses propos. On peut partir pour débuter, non pas d’une définition mathématique, mais de la définition lexicographique qu’en donne Mandelbrot dans son ouvrage « Les objets fractals » :

…« objet fractal » et « fractale », termes que je viens de former, pour les besoins de ce livre, à partir de l’adjectif latin fractus, qui signifie « irrégulier ou brisé ».
Fractale. n.f. Configuration fractale. Ensemble ou objet fractal.

Remarque. Puisque mon adjectif pluriel fractals avait prêté à controverse, il paraît bon que le nom correspondant soit féminin. J’y tiens, bien que de nombreux collègues choisissent spontanément le masculin. La raison en serait qu’ils ne considèrent pas fractal comme étant un mot français qui serait passé à l’anglais.
B. Mandelbrot : Les objets fractals (Flammarion)

Le mot a été créé en effet par Mandelbrot pour la première édition de son livre en 1975, mais les travaux qui lui ont progressivement permis de dégager ce concept débutèrent dans les années 50. De plus diverses figures fractales avaient été inventées par des mathématiciens depuis la fin du 19ème siècle, mais ces approches étaient restées sans liens entre elles.


Mandelbrot.

Le mérite de Mandelbrot est d’avoir trouvé ce qu’il y avait de commun à des choses aussi diverses que certaines figures géométriques étranges, la distribution des parasites sur les lignes de transmission de signaux, la longueur des côtes, les cours boursiers, le régime des crues de certains fleuves, le relief terrestre, la distribution des galaxies, la structure des poumons, des travaux mathématiques très théoriques sur la notion de dimension, sur l’itération de polynômes complexes, et beaucoup des choses encore. Mandelbrot a donc abordé toutes sortes de sujets dont beaucoup avaient été étudiés par d’autres, mais il fut le premier à découvrir et analyser théoriquement les lois générales qui les rapprochent.

En quoi le fait qu’une structure soit irrégulière ou brisée nécessite-t-il la création d’un nouveau mot, et plus encore, l’invention d’un nouveau domaine des mathématiques ?

Avant de nous aventurer à donner une définition théorique, le plus simple est de donner un exemple classique de fractale, la courbe de von Koch, dans sa variante appelée habituellement « flocon de neige de von Koch ». Cette courbe a été publiée en 1904 et le titre de l’article mérite d’être cité : « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire ».

Cette « courbe » s’obtient en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral une transformation simple : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée et on recommence la même opération sur chaque côté de la figure obtenue. À la première itération (« Action de répéter, de faire de nouveau » Petit Larousse). on obtient une image proche d’une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Remarque capitale, à quelque grossissement qu’on examine la « courbe » on observera les mêmes détails… pour autant que le nombre d’itérations soit infini (ou, au moins, assez important).

Remarquons au passage qu’il est matériellement impossible de dessiner exactement une fractale puisqu’il faudrait poursuivre les itérations à l’infini. En pratique on s’arrête quand les plus petits détails sont inférieurs à la résolution de l’écran.

Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie, puisqu’on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives. En réalité, à la première itération la longueur L de chaque côté est remplacée par 4 segments de longueur L/3 ; à la deuxième elle devient 16 L/9… À chaque itération la longueur est donc multipliée par 4/3, ce qui signifie que (contrairement à l’intuition première) la longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un nombre d’itérations infini (série géométrique de raison 4/3). Et pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites constituées à l’extérieur par le cercle circonscrit au triangle initial, et à l’intérieur par le cercle inscrit dans ce triangle ! En d’autres termes une surface de dimension finie est limitée par une frontière de longueur infinie.

Question : sauriez-vous démontrer que cette surface tend vers

a étant la longueur du côté du triangle initial ?

  • a ) Notion de dimension fractale

Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension géométrique des objets fractals (attention, ne confondez pas dimension et longueur !). Nous savons tous qu’un point est une figure de dimension 0 ; qu’une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu’une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu’un volume est de dimension 3… Ceci est la dimension euclidienne ou topologique (en réalité ces deux termes ne snt pas strictement synonymes). Qu’en est-il d’un objet fractal ?
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet.

On peut tenter une approche simplifiée. Imaginons que je veuille mesurer la limite (supposée droite) entre deux terrains, que cette longueur soit de 10 m et que je dispose d’une règle de 1 m. Il est évident que je dois l’appliquer 10 fois le long de la limite pour faire la mesure. Si ma règle fait 0,5 m je devrai la reporter 20 fois. On voit que, si je divise par n la longueur de la règle je dois multiplier par n le nombre de fois où je la reporte, ce qui donne un rapport de n/n=1.

Si la longueur à mesurer est une courbe on comprend qu’en utilisant une règle droite reportée n fois de la même manière on n’aura qu’une valeur approximative, notablement sous-évaluée. Plus la règle sera courte, plus l’opération sera fastidieuse, mais plus le résultat sera précis. Pour une règle suffisamment (infiniment) petite, si je divise par n sa longueur, je multiplie encore par n le nombre de fois où je l’applique le long de la ligne et j’obtiendrai la longueur exacte de la courbe. Ceci donne toujours un rapport de n/n, soit 1 (c’est vrai aussi si j’écris ln n/ln n, remarque qui va nous servir bientôt). On voit clairement dans l’image ci-dessous qu’on se rapproche de plus en plus de la longueur réelle de la courbe rouge quand on prend la règle verte, la jaune et enfin la bleue.

Imaginons maintenant que je veuille recouvrir une surface avec du carrelage. S’il me faut n carreaux de 20 cm de côté, et que changeant d’avis je veuille des carreaux de 10 cm de côté, je sais qu’il ne me faudra pas 2 fois plus de carreaux, mais 4 fois plus, puisque la surface est proportionnelle au carré des dimensions linéaires.

Autrement dit n’=n2. Donc ln n’/ln n=ln n2/ln n=2 et ln n2/ln n=2. Chacun sait que 2 est la dimension euclidienne ou topologique de toute surface. On voit sans difficulté que cette relation se vérifie quelle que soit la taille choisie pour les carreaux. Cette manière de calculer la dimension est appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch ou « dimension fractale ». En fait les choses sont plus compliquées et des renseignements supplémentaires pourront être trouvés sur la page : http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/dimension.html

Le même raisonnement s’applique sans difficulté à la dimension 3 pour les volumes.

Sans entrer dans les détails on peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n’emplissant qu’une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. L’image ci-dessous montre en effet clairement que chaque fois qu’on réduit d’un facteur 3 la longueur de la règle, on multiplie par 4 le nombre de fois où l’on doit l’appliquer le long de la figure. Ceci démontre que sa dimension de Hausdorff-Besicovitch est égale à ln 4/ln 3=1,26… Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières mais ce n’est pas obligatoire, contrairement à certaines définitions erronées qu’on peut lire.

Ceci est encore moins intuitif qu’une longueur infinie, mais nous amène à une définition à peu près correcte des fractales :

Les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est strictement supérieure à la dimension topologique.

Le cas du flocon de von Koch nous conduit directement à une question abordée par Mandelbrot et qui a beaucoup contribué à la popularité des fractales : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? En fait le premier à avoir abordé cette question et à y avoir répondu correctement est Jean Perrin, dans une préface prémonitoire de son livre. « Les atomes » publié en 1913, texte auquel Mandelbrot rend un hommage appuyé dans « Les objets fractals ». Un extrait important du texte de Jean Perrin peut être consulté à
http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/perrin.html

Remarquons que cette côte présente de très nombreuses circonvolutions avec quelques grands golfes qui contiennent des golfes plus petits et des criques de toutes tailles, ainsi que des promontoires plus ou moins découpés. Sur le terrain nous observerons en outre des détails de plus petite taille qui ne peuvent pas être représentés sur la carte et qui sont dus aux irrégularités des rochers. Imaginons l’ogre du conte parcourant cette côte avec des bottes de 7 lieues. En comptant le nombre d’enjambées (n) il trouvera une longueur approchée pour cette côte (soit n fois 7 lieues). S’il enlève les bottes de 7 lieues pour faire le même chemin à pied il trouvera une longueur plus importante. Imaginons le même voyage fait par le petit Poucet, par un chien ou par une fourmi : chacun trouvera une longueur plus grande et, chose importante, ces valeurs approchées ne convergent pas vers une longueur finie qu’on pourrait extrapoler à partir des résultats donnés par chacun. Au contraire, tout comme le flocon de von Koch, la longueur de la côte de la Bretagne est, en toute rigueur, infinie.

Quelle est la contribution de Mandelbrot au problème de la longueur des côtes ? Dans l’article How long is the coast of Britain ? Statistical self-similarity and fractional dimension (Sciences, 155, 636-638 ; 1968) l’auteur part des résultats d’un article peu connu de Richardson où ce dernier montre que la longueur d’une côte est fonction d’une puissance α du pas (au sens de l’explication ci-dessus). Là où ce dernier ne voyait dans α qu’un exposant empirique de sa formule, Mandelbrot interprète 1+α comme une dimension (au sens de Hausdorff et Besicovitch) et montre la nature fractale (le terme n’existait pas encore) des côtes. Ce travail semble avoir été à l’origine des recherches de Mandelbrot et de ses continuateurs sur l’utilisation des fractales pour obtenir des images de synthèse de paysages. En effet un raisonnement du même type peut être appliqué au relief, c’est-à-dire en passant de la dimension euclidienne 2 à la dimension 3.

  • b ) Auto-similarité

Reprenons une phrase écrite plus haut à propos de la courbe de von Koch : « Remarque capitale, à quelque grossissement qu’on examine la “courbe” on observera les mêmes détails ». Ceci est une propriété importante de toute structure fractale désignée par les termes auto-similarité, homothétie interne ou encore invariance d’échelle. Cette propriété s’explique par le fait que toute image fractale est engendrée par un processus d’itération théoriquement infini. Dans le cas de la courbe de von Koch les choses sont très simples puisque les détails sont rigoureusement identiques quelle que soit l’échelle. C’est pourquoi, quand on regarde une portion de cette figure il est impossible de dire si on la regarde à l’échelle 1, ou si l’on a fait un zoom de 10 fois, 100 fois, ou 1 million de fois.

Mais cette stricte identité n’est qu’un cas particulier. Dans de nombreuses fractales obtenues à partir de fonctions mathématiques, les détails sont simplement similaires sans être strictement identiques. Il en est de même pour les structures fractales observées dans les objets naturels : les différents golfes et les criques de la côte de Bretagne n’ont pas exactement le même dessin ; il n’empêche que cette côte a indiscutablement une structure fractale dont on peut calculer la dimension. En outre les structures fractales naturelles ne sont pas fractales à l’infini : l’auto-similarité s’arrête en général à un moment (si en explorant la côte on tombe sur une jolie plage de sable fin bien régulière, il est évident qu’elle n’est pas fractale).

Les images fractales théoriques ont donc une propriété que ne montre aucune autre figure géométrique ou aucune courbe mathématique : on peut zoomer dedans à l’infini, on observera toujours de nouveaux détails. C’est cet aspect particulier de la notion d’infini qui rend les fractales si fascinantes et qui a contribué à leur popularité (au point même que certains en ont même tiré des élucubrations mystico-philosophiques). Cette propriété est largement exploitée par les créateurs d’images fractales calculées par ordinateur. Songez qu’une image de 800×600 pixels comporte 480.000 points calculés individuellement et faisant l’objet d’au moins 100 à 200 itérations chacun (et souvent bien plus) pour avoir une image assez précise : vous imaginez combien la puissance des ordinateurs modernes est utile. Il n’était pas rare il y a 10 ou 15 ans que certaines images aient nécessité plusieurs jours de calcul.

  • c ) Fractales et chaos

Les notions de fractales et de chaos sont souvent associées au point que la confusion est souvent faite entre ces deux domaines. Ceci s’explique par deux raisons. D’une part le livre de Gleick « La théorie du chaos, vers une nouvelle science » a joué, pour la diffusion de ces idées, un rôle au moins aussi important que celui de Mandelbrot pour les fractales, bien qu’il s’agisse là de l’ouvrage d’un journaliste scientifique et non d’un chercheur. Ce livre contient d’ailleurs un chapitre important sur les fractales.

La confusion entre les deux notions est particulièrement bien illustrée par le livre de Michael Crichton « Jurassic Park » adapté brillamment au cinéma par Steven Spielberg. Un des protagonistes important de l’histoire est Ian Malcom, mathématicien spécialiste du chaos. Le livre est divisé en plusieurs parties appelées première itération, deuxième itération… et chacune d’elle débute par une des étapes successives de la construction d’une fractale célèbre appelée courbe du dragon, courbe qui n’a rien à voir avec un phénomène chaotique.


Courbe du dragon après 10 itérations

La théorie du chaos déterministe repose sur le fait que certains phénomènes, décrits par des systèmes d’équations, à première vue très classiques, se révèlent imprédictible dans les faits parce que très sensibles aux conditions initiales. Cette expression un peu obscure signifie que la moindre différence au départ du phénomène, ou la moindre imprécision, même minime, dans la mesure des paramètres initiaux, se trouve amplifiée dans de telles proportions que l’état atteint par le système au bout d’un certain temps peut être totalement imprévisible. Pour prendre une comparaison à peine exagérée imaginons un artilleur qui pointe son canon sur une cible : il sait que la précision de son tir dépend de la précision de ses réglages, mais il sait aussi que l’erreur par rapport à la cible est proportionnelle à l’imprécision de ses réglages. En d’autre terme il peut s’attendre à ce que l’obus tombe un peu à côté de la cible, mais en aucun cas à ce que l’obus tombe derrière lui ! Or c’est ce qui pourrait se produire si le tir était un phénomène chaotique. Ceci est dû au fait que l’imprécision à l’arrivée n’est pas du tout proportionnelle à l’imprécision initiale et ceci s’explique par le fait que les équations des phénomènes chaotiques sont généralement non linéaires.

Ceci n’a à priori rien à voir avec une définition des fractales, qu’on les considère comme des objets ayant une auto-similarité interne ou comme des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est supérieure à la dimension euclidienne.

Mais il existe pourtant deux points communs au moins entre fractales et chaos

Le premier est que dans le cas d’un phénomène chaotique comme dans celui d’un objet fractal, il n’est pas possible connaissant deux points, même très proches, d’interpoler la valeur exacte (ou même approchée) d’un point intermédiaire.

Dans les deux cas le point intermédiaire qu’on cherche à approximer peut en réalité se situer n’importe où. On peut d’en convaincre en pensant à la côte de la Bretagne : soient les coordonnées de deux points distants de 2 km ; on peut se tromper de plusieurs kilomètres si l’on suppose naïvement qu’on peut trouver la position du point situé à mi-distance sur la côte en prenant la moyenne de la longitude et celle de la latitude des deux points. Si le point réel se situe dans un golfe ou sur un promontoire, il peut être n’importe où sauf sur la côte (au contraire cette approximation marche très bien pour la côte aquitaine, qui n’est pas du tout fractale). On rencontre un problème similaire pour de nombreux phénomènes chaotiques, par exemple dans l’écoulement chaotique d’un fluide où l’on voit s’entremêler des grands et des petits tourbillons.

Le deuxième point commun est plus abstrait. Il a trait à une représentation de l’évolution des phénomènes dans ce qu’on appelle un espace de phase. En gros on représente habituellement un mouvement dans le temps et dans le système de coordonnées de l’espace qui nous est familier. Or il y a une autre manière de représenter l’évolution d’un phénomène : si celui-ci dépend de n variables on peut choisir un système de coordonnées avec une dimension pour chaque variable (ceci conduit souvent à des espaces à plus de trois dimensions, mais ce n’est pas un problème pour le raisonnement sauf que ce n’est pas représentable graphiquement). À chaque instant l’état du phénomène est représenté par un point dans cet espace fictif et l’ensemble de ces points dessine une figure qu’on appelle un attracteur. La théorie montre que dans l’immense majorité des cas ces attracteurs sont très simples. Par exemple l’attracteur pour un pendule simple non amorti est un cercle (un des axes de coordonnées représente la distance de l’extrémité par rapport à la verticale, et l’autre la vitesse à chaque instant). Au contraire dans le cas des systèmes chaotiques l’attracteur prend une allure très complexe dont la trajectoire ne se recoupe jamais, ce qui explique son appellation d’attracteur étrange. Or dans beaucoup de cas (mais pas dans tous) la structure de cet attracteur est fractale.


Un attracteur étrange dans un espace à trois dimensions

Il y a donc bien des points communs entre deux concepts issus de points de départ théoriques très différents.

Les objets fractals mathématiques habituels sont des fractales déterministes. Ceci signifie que connaissant leur mode de construction géométrique ou leur mode de calcul (pour les formules mathématiques) on obtient toujours le même résultat, ce qui ne surprendra personne.

Or l’objectif de Mandelbrot a été de créer un domaine mathématique nouveau destiné à décrire la structure d’objets et de phénomènes, naturels ou créés par l’homme. Ceci ressort très nettement du titre de son livre anglais « The fractal geometry of Nature » et de l’introduction de son livre français

Les objets fractals

:

« En somme, ce livre s’occupe, en premier lieu, d’objets très familiers, mais trop irréguliers pour tomber sous le coup de la géométrie classique : la Terre, la Lune, le Ciel, l’Atmosphère et l’Océan »

« Bien que leur étude appartienne à des sciences différentes… les objets naturels en question ont en commun d’être de forme extrêmement irrégulière ou interrompue. Pour les étudier, j’ai conçu, mis au point et largement utilisé une nouvelle géométrie de la nature ».

Dans un texte prophétique daté de 1913 Jean Perrin décrit des structures fractales bien avant que le mot ait été inventé : « …sur un tronc d’arbre par exemple, il suffira de m’approcher pour distinguer sur l’écorce rugueuse les détails que je soupçonnais seulement, et pour, de nouveau, en soupçonner d’autres.

Puis, quand mon œil tout seul deviendra impuissant, la loupe, le microscope, montrant chacune des parties successivement choisies à une échelle sans cesse plus grande, y révéleront de nouveaux détails, et encore de nouveaux, et quand enfin j’aurai atteint la limite actuelle de notre pouvoir, l’image que je fixerai sera bien plus différenciée que ne l’était celle d’abord perçue. » (Préface de son livre Les Atomes)

La plupart des phénomènes ou structures étudiés par Mandelbrot étant très irréguliers et aléatoires pratiquement tous les modèles utilisés par Mandelbrot sont de nature probabiliste et constituent donc une extension nouvelle des théories de la probabilité. Mandelbrot n’a pas abordé l’application du concept de fractales à des domaines déterministes avant 1979-80.

Il faut insister sur ces deux points car ils peuvent être sous-estimés, voire méconnus par les amateurs d’images fractales obtenues par itération de polynômes complexes (donc déterministes).

Je mets ce terme entre guillemets car il englobe en fait toutes les structures et phénomènes, naturels ou artificiels, qui ont, au moins jusqu’à un certain niveau, une structure fractale.

Par exemple un des premiers sujets d’étude de Mandelbrot a été la distribution des parasites sur les lignes acheminant des signaux entre ordinateurs. À cette époque ces lignes étaient en effet relativement rustiques et très loin de la perfection présentée aujourd’hui par les fibres optiques qui acheminent la quasi-totalité du trafic Internet qui vous permet de lire ces pages.

Mandelbrot constate que ces parasites se répartissent en rafales séparées par des périodes d’accalmies. Mais les rafales elles-mêmes sont constituées de bouffées plus courtes séparées par des intervalles calmes, et ces bouffées peuvent à leur tour être décomposées en bouffées encore plus courtes. En gros on retrouve exactement la même distribution quelle que soit l’échelle de temps servant à observer le phénomène, ce qui est une définition évidente d’une distribution fractale, mais une fractale aléatoire.

Autrement dit les parasites se répartissent au hasard, mais ce hasard n’est pas informe ; il a une structure et Mandelbrot a montré que cette structure avait une forte analogie avec ce qui est probablement la fractale la plus ancienne connue : la poussière de Cantor (ou ensemble de Cantor, décrite par ce mathématicien vers 1872).

Pour comprendre la construction de cette figure imaginez que vous partez d’un segment de droite dont on enlève le tiers central. Faites la même opération sur les 2 segments restants, puis par itération successive sur les différents segments de plus en plus petits résultant de cette manipulation.

Bien entendu cette structure est trop régulière mais Mandelbrot a montré qu’en mélangeant ses parties de façon aléatoire on retrouve la structure des rafales de parasites.
Mandelbrot a également beaucoup travaillé sur les cours boursiers. Les théories traditionnelles considéraient que les fluctuations à cours terme étaient plus ou moins aléatoires mais que les variations à long terme reflétaient de vraies tendances économiques.

Or par une étude précise de séries de cours boursiers Mandelbrot montre que les fluctuations à long terme ont exactement la même allure que les fluctuations à cours terme (invariance d’échelle). Bien entendu cette théorie fractale des cours boursiers ne permet pas de prédire ce qui va se passer à un moment donné mais elle permet de prédire que des variations brutales peuvent se produire de manière pratiquement inattendue lorsque la liberté des cours n’est pas encadrée par des freins institutionnels.

La nature regorge de structures qui sont fractales, au moins jusqu’à un certain niveau. C’est le cas de la prodigieuse ramification des bronches dans les poumons, chaque bronchiole se terminant par une alvéole pulmonaire dont le nombre total est de 200 à 300 millions ! C’est aussi le cas de la ramification des vaisseaux dans le corps, et dans une moindre mesure celle des branches et rameaux des plantes. Divers cristaux forment au cours de leur croissance des dendrites fractales, comme par exemple le givre.

Après avoir constaté la nature fractale de nombreuses côtes, Mandelbrot s’est très vite demandé s’il n’en était pas de même pour le relief terrestre. Il a initié des travaux, poursuivis en particulier par son élève Ken Musgrave qui ont abouti à la réalisation de programmes engendrant des reliefs terrestres d’un réalisme étonnant.

Allant encore plus loin Mandelbrot a proposé que la répartition des galaxies dans l’univers soit fractale. Ce qui pouvait passer pour une supposition osée de quelqu’un qui s’aventurait hors de son domaine de compétence a été confirmé par divers astronomes. Il semble bien que les nuages gazeux interstellaires (dans notre galaxie) aient une répartition fractale aléatoire. Il en est de même de la répartition des galaxies et des amas de galaxies. Ceci s’exprime par une loi simple : la masse d’une structure (nuage gazeux, galaxie, amas de galaxie) est proportionnelle à une puissance D de sa taille, cette puissance étant une dimension fractale.

Curieusement, d’après Mandelbrot, la répartition des crues du Nil au fil des années (crues de faible ou de forte importance, du moins avant le barrage d’Assouan) suit pratiquement la même loi que la fluctuation des cours boursiers. Il en est de même pour beaucoup d’autres fleuves.
Un autre domaine où les fractales ont été beaucoup utilisées est l’étude de la percolation, c’est-à-dire de la manière dont un liquide s’infiltre dans un substrat poreux, le sol généralement. Ceci intéresse de nombreux domaines et en particulier les compagnies pétrolières pour l’extraction du maximum possible de pétrole d’un gisement.

En effet ce pétrole imbibe les roches poreuses du gisement et on peut être amené, pour faciliter son extraction, à le « pousser » en injectant de l’eau dans ces roches.

Remerciements : toutes les photographies de fractales naturelles illustrant ce texte sont reproduites (après une légère réduction) avec l’aimable autorisation du professeur Julien Clinton Sprott, de l’Université du Wisconsin. Son site peut être consulté à l’adresse
http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htm

  • a) Les précurseurs

Avec la courbe de von Koch, la poussière de Cantor, la courbe du dragon (voir ci-dessus Fractales et chaos), nous venons de voir un premier ensemble de fractales construites simplement par l’itération d’une opération géométrique simple. Cela ne met en œuvre aucun concept compliqué et pourtant on aboutit à des figures dont les propriétés auraient paru impensables à Euclide puisque leur dimension n’est pas 1. En voici quelques autres exemples, avec un faible nombre d’itérations pour garder leur lisibilité :


courbe de Hilbert


courbe de Peano


triangle de Sierpinski

Ces figures ont été découvertes à la fin du XIXème siècle et au début du XXème, donc bien avant la formulation du concept de fractale.

  • b) L-systèmes

Les Lindenmayer-systèmes (L-systèmes) n’ont pas été inventés pour créer des fractales mais pour modéliser la croissance et les interactions cellulaires. Un L-système est une grammaire formelle dont les règles définissent la procédure pour transformer par itération une chaîne de caractères de départ en une autre chaîne. Les transformations sont basées sur des règles qui spécifient comment des caractères ou parties de la chaîne de caractères sont remplacés par d’autres. Si on applique cet ensemble de règles de façon récursive à une chaîne de caractère, une nouvelle chaîne ayant une structure fractale peut être créée.

Fondamentalement chaque caractère peut être un symbole ayant n’importe quelle signification conventionnelle, mais on a utilisé très tôt les L-systèmes pour dessiner des figures complexes, chaque caractère étant interprété comme une commande graphique.

Les conventions peuvent être choisies librement par chaque programme utilisant les L-systèmes. L’exemple suivant est extrait du manuel du célèbre programme de fractales Fractint. Il utilise donc la syntaxe de ce programme (remarque : tout ce qui suit un point-virgule est un simple commentaire).

Dragon          ; nom du l-système, “” indique le début de la procédure
  Angle 8        ; spécifie que l'incrément de l'angle est 45° (360/8)
  Axiom FX       ; chaîne de caractère initiale
  F=             ; première règle: effacer 'F'
  y=+FX--FY+     ; changer 'y' en "+fx--fy+"
  x=-FX++FY-     ; même transformation sur 'x'
                ; le “” marque la fin de la procédure

La courbe du dragon montrée précédemment a été obtenue en indiquant au programme d’appliquer cette procédure 10 fois de façon récursive.

Pour interpréter cet exemple voici les commandes standard utilisées :

     F tracer un trait vers l'avant     
     + augmenter l'angle de la valeur fixée
     - diminuer l'angle

Et voici comment a été dessiné le triangle de Sierpinski :

Sierpinski  
  axiom F+F+F
  f=F+FF
  angle 3
 

Enfin les L-systèmes ont été largement utilisés pour modéliser la structure des végétaux. En voici un exemple utilisant un programme un peu plus élaboré.

  • c)IFS (Iterated Function System)

C’est un type de fractales assez original qui a été introduit par Michael Barnsley. Ce type de fractales n’est pas facile à expliquer à des non-mathématiciens. Leur structure est décrite par un ensemble de fonctions affines qui calculent les transformations appliquées à chaque point par homothétie, translation et rotation. Chaque transformation utilise 2 fonctions pour calculer les nouvelles valeurs x1 et y1 des coordonnées x et x de chaque point :

ax+by+e=x1
cx+dy+f=y1

Enfin une probabilité comprise entre o et 1 est associée à chaque transformation (le total de toutes les probabilités devant être 1). Ces images sont dont construites par un processus aléatoire : on voit apparaître sur l’écran des point de plus en plus nombreux qui dessinent une forme floue, puis de plus en plus précise. En général le programme permet de fixer le critère d’arrêt du calcul. Plus le temps choisi est long, plus les images sont précises. En voici deux exemples :

Le triangle (ou tamis) de Sierpinski

sierpinski 
  0.5  0  0  0.5  0   0          0.333  
  0.5  0  0  0.5  1   0          0.333  
  0.5  0  0  0.5  0.5 0.8660254  0.334

Dans cette syntaxe les 4 premiers termes sont les coefficients a, b, c, d, des équations, les deux suivants sont les termes constants e et f. Le terme 0.8660254 est le sinus de 60°, Enfin la dernière probabilité a été arrondie à 0.334 pour que le total soit égal à 1.

Enfin voici la célèbre fougère de Barnsley :

 fougère 
  0     0     0    0.16 0 0    0.01
  0.85  0.04 -0.04 0.85 0 1.6  0.85
  0.2  -0.26  0.23 0.22 0 1.6  0.07
 -0.15  0.28  0.26 0.24 0 0.44 0.07
  

Les IFS ont servi à développer une méthode de compression des images efficace mais qui n’a pas obtenu une grande diffusion et seuls des programmes spécialisés savent afficher ces images, contrairement au format JPEG bien connu.

Une technique IFS en 3D est utilisée par un programme étonnant, Xenodream, qui permet de créer de manière interactive des images d’objets de toutes sortes, des plus réalistes aux plus abstraits, et de leur appliquer des effets de texture et d’éclairage extraordinairement variés. Il est généralement impossible d’imaginer, en regardant l’image achevée, qu’elle a été créée par un procédé fractal.

  • d) Fractales « flammes »

En fait ces fractales sont connues sous leur nom anglais (flame fractals). Il s’agit d’une combinaison d’attracteurs étranges produits par la méthode IFS, auxquels sont appliqués un ensemble de transformations très complexes. Comme toutes les fractales de type IFS elles se construisent progressivement par accumulation de points apparaissant de façon semi aléatoire. En utilisant un nombre d’itérations élevé et une palette de couleurs très progressive on peut obtenir des images très délicates. Au contraire l’image montrée ici a été arrêtée après un nombre d’itérations modéré pour montrer sa construction point par point ; elle n’a donc aucune prétention esthétique.

C’est ce type d’images qui a le plus contribué à l’impact artistique des fractales. Pourtant il s’agit au départ de travaux mathématiques très austères.

  • a ) Les nombres complexes

Pour comprendre de quoi il s’agit il faut expliquer (ou rappeler pour certains) ce que sont les nombres complexes. Ceci nécessite un détour par les nombres imaginaires.

Le carré d’un nombre étant ce nombre multiplié par lui-même, un carré ne peut être que positif : en effet 4 est aussi bien le carré de 2 que celui de -2 . Incidemment notons que 1 est le carré de 1 et de -1. Dans ces conditions un nombre négatif ne peut pas être un carré et la question « quelle est la racine carrée de -1 ?» n’a apparemment aucun sens. Ceci n’a pas arrêté les mathématiciens qui se sont demandé si l’on pouvait construire une arithmétique cohérente en supposant que -1 avait une racine imaginaire, désignée conventionnellement par i (l’autre racine étant –i.) La réponse est qu’en effet on peut construire une arithmétique englobant nos nombres usuels et des nombres imaginaires formés par le produit de i et d’un nombre réel quelconque a.i.

À partir de là il est possible de définir les nombres complexes. Ceux-ci sont de la forme z = x + yi où x est la partie réelle et y la partie imaginaire. On peut représenter graphiquement ce nombre z dans un système de coordonnées planes puisque c’est un nombre à deux dimensions. Par convention la partie réelle est affectée à l’axe des abscisses et la partie imaginaire à l’axe des ordonnées. Le nombre représenté ci-contre par le point m a pour coordonnées approximatives x=2,7 et y=1,3.

Le segment om a, d’après Pythagore, une longueur égale à la racine carrée de la somme des carrés de l’abscisse et de l’ordonnée :

C’est le module du nombre complexe et ce nombre est un nombre réel. Il existe une arithmétique des nombres complexes qui utilise des règles un peu plus compliquée que notre arithmétique habituelle, mais qui permet d’effectuer sur les nombres complexes toutes les opérations classique. Le plan défini par le système de coordonnées est appelé plan complexe.

  • b ) Les ensembles de Julia et Fatou

Ceci étant expliqué l’histoire de l’itération des polynômes complexes débute en 1918-1920, époque à laquelle deux mathématiciens, Julia et Fatou, publient les résultats de travaux conduits de façon totalement indépendante. Le plus simple des polynômes complexes étudiés ainsi est P(z)=z2+c ce qui conduit à la suite :

zn+1=zn2+c

c est une constante complexe arbitraire et z est une variable également complexe. On calcule la valeur du polynôme pour une valeur de départ de z puis on donne à z la valeur ainsi trouvée et on recommence le calcul avec cette nouvelle valeur. Le résultat est à nouveau injecté dans z et on recommence, théoriquement un nombre infini de fois (z prenant à chaque itération la valeur trouvée dans le calcul précédent). Que constate-t-on alors ? Pour certaines valeurs de départ de z le résultat se maintient au fil de itérations successives dans un intervalle bien limité. Au contraire pour d’autres valeurs la fonction diverge et le point représentant le résultat s’échappe vers l’infini. En fait on démontre que le calcul divergera si au cours des itérations successives le module de z dépasse la valeur 2, ce qui permet d’arrêter le calcul dès que cette valeur est atteinte. Fatou et Julia s’étaient rendu compte du comportement très complexe des valeurs résultant de ce type de calcul, très long certes même si on s’arrête après un nombre raisonnable d’itérations, mais très simple dans son principe.

Malheureusement les ordinateurs n’existaient pas à l’époque et l’expression graphique des résultats était impossible sauf dans quelques cas simples. Si l’on se souvient que tout nombre complexe peut être représenté dans un plan avec les coordonnées x et y de sa partie réelle et de sa partie imaginaire, comment se répartissent les valeurs de z pour lesquelles la valeur du polynôme ne diverge pas ?

Les points correspondants forment un ensemble bien défini dans le plan complexe, qu’on a pris l’habitude d’appeler un peu rapidement ensemble de Julia. Notons d’abord qu’il y a une infinité d’ensembles de Julia puisqu’on peut donner n’importe quelle valeur à la constante c. Pour certaines valeurs de c les points sont rassemblés dans une surface qui forme une figure généralement assez compliquée mais connexe. Pour d’autres valeurs de c on obtient un ensemble « éclaté » formé de points séparés. Voici ce que cela donne lorsqu’on utilise l’écran pour représenter le plan complexe :


partie réelle de c = -0.0519… partie imaginaire = 0.688…Ensemble de Julia connexe.


partie réelle de c = -0.577… partie imaginaire = 0.478…Ensemble de Julia non connexe.

Dans cette représentation les parties noires de l’image de droite représentent l’ensemble de Julia rempli (en effet l’ensemble de Julia est, à strictement parler, la limite de la zone noire de la première image, et la zone noire située à l’intérieur est l’ensemble du Fatou, mais on a pris l’habitude de parler d’ensemble de Julia sans faire cette distinction). Lorsque l’ensemble est non connexe on peut démontrer qu’il a les propriétés d’une poussière de Cantor à deux dimensions (euclidiennes). Les auréoles colorées dans les images de gauches n’appartiennent pas à l’ensemble, mais, selon leur coloration, représentent les points qui échappent à l’ensemble au bout de 1, 2, 3 etc. itérations successives.


Détail d’un ensemble de Julia.

On voit qu’en choisissant judicieusement les couleurs, les zones qui entourent l’ensemble de Julia dessinent une structure très complexe et très belle.

L’ordinateur est un outil merveilleux pour exécuter la multitude de calculs bêtement répétitifs nécessaires à l’obtention de cette image. En effet il faut calculer zn+1=zn2+c pour chacun des points du plan complexe qui constituent l’image (soit 400×300=120000 points pour l’image ci-dessus) avec un nombre d’itérations qui peut se mesurer en centaines pour chaque point.

Les ensembles de Julia sont fractals : on peut zoomer à l’infini dans l’image en trouvant toujours de nouveaux détails.

  • c ) L’ensemble de Mandelbrot

Supposons maintenant que dans le polynôme précédent c ne soit plus une constante, mais une variable et représentons le résultat dans le plan complexe de c (et non dans le plan complexe de z comme dans le cas des ensembles de Julia). Pour chaque valeur de c, c’est-à-dire pour chaque pixel de l’écran, itérons le polynôme en partant de la valeur z=0 et cherchons l’ensemble des points pour lesquels le polynôme ne diverge pas. Nous obtenons un nouvel ensemble qui a été découvert et étudié par Mandelbrot vers 1980. Son étude a été approfondie ultérieurement par Douady et Hubbard qui l’ont appelé ensemble de Mandelbrot (ou M). Mandelbrot insiste beaucoup dans son livre sur le fait qu’il a largement utilisé les possibilités graphiques des ordinateurs (pourtant très limitées à l’époque) pour étudier les propriétés de cet ensemble.

S’il y a une infinité d’ensembles de Julia il n’y a qu’un ensemble de Mandelbrot correspondant à la formule zn+1=zn2+c. Les points de l’ensemble de Mandelbrot (partie noire de l’image ci-dessous) sont l’ensemble des valeurs de c pour lesquelles l’ensemble de Julia correspondant est connexe. La frontière de l’ensemble de Mandelbrot est fractale, et sa dimension fractale est 2 (alors que sa dimension euclidienne est 1 puisque c’est une ligne). De la même manière que pour les ensembles de Julia, les zones colorées qui entourent la zone noire représentent les points qui échappent à l’ensemble après un certain nombre d’itérations.

L’ensemble de Mandelbrot est fractal et, en explorant l’image à des grossissements divers, on peut y trouver une infinité de détails spectaculaires. Comme pour toute figure fractale une caractéristique fondamentale est l’autosimilarité, c’est-à-dire qu’on va y retrouver à n’importe quel grossissement des structures semblables (ce qui ne veut pas dire strictement identiques) à celles qu’on observe à des grossissements moins élevés. En particulier une propriété très spectaculaire est la présence, cachée au milieu de structures variées, de mini ensembles de Mandelbrot.

La figure suivante montre (en monochrome pour ne pas disperser l’attention, sauf pour la dernière image) une série de zooms successifs dans cet ensemble. Dans chaque image le cadre blanc montre la zone qui est agrandie dans l’image suivante.

Le facteur de grossissement entre la première et la dernière image est de 3 200 000 fois !

Et voici maintenant la même image agrandie :

L’ordinateur a permis de découvrir la beauté insoupçonnée de l’ensemble de Mandelbrot et des ensembles de Julia, objets mathématiques à première vue très abstraits. Ils sont à l’origine d’une branche nouvelle de l’art, appelée art fractal. De nombreux sites Web sont consacrés à ces images car l’Internet est un moyen de diffusion particulièrement adapté pour les images informatiques.

Les quaternions sont une généralisation des nombres complexes. Ils ont été introduits au 19ème siècle par le célèbre mathématicien Hamilton qui a établi les règles de l’arithmétique de ces nombres.

Les quaternions ont une partie entière et trois parties imaginaires. On peut remplacer les nombres complexes par des quaternions dans la formule de l’ensemble de Mandelbrot ou des ensembles de Julia. La représentation graphique de ces ensembles paraît à première vue impossible.

En effet si les ensembles de Mandelbrot et de Julia classiques peuvent être représentés en deux dimensions, leurs homologues quaternioniques ont quatre dimensions. Les choses sont toutefois plus simples qu’il n’y paraît. En effet on peut considérer ces objets comme des objets à trois dimensions qui évoluent dans le temps (la quatrième dimension).

Donc si l’on donne à une des parties imaginaires une valeur constante, tout se passe comme si l’on regardait un objet à trois dimensions à un moment précis de son évolution. En faisant des constructions graphiques pour des valeurs successives de la variable « temps » il est même possible de faire une animations où l’on voit l’ensemble apparaître progressivement, grandir, changer de forme, puis diminuer jusqu’à disparaître.

Concrètement on représente des ensembles de Julia quaternioniques. Imaginez que vous isoliez la partie noire qui, dans une image vue précédemment, représente l’ensemble de Julia. Imaginez que cet ensemble soit un volume et non une surface plane. Imaginez enfin que vous regardiez cet ensemble de l’extérieur : vous obtenez un objet étrange qui ressemble à une sculpture moderne abstraite.

Ces images posent un problème apparent : elles apparaissent trop lisses car leur surface devrait être beaucoup plus complexe et montrer une structure fractale qui n’est guère visible.

L’explication réside dans le fait qu’on utilise un nombre d’itérations très faible parce que l’image est plus plaisante. De plus pour avoir un rendu plus réaliste on applique à l’objet des techniques classiques pour les images de synthèse en 3D : réglage du brillant de la surface, de l’éclairage ambiant, positionnement d’une source d’éclairage ponctuelle (technique dite de « lancer de rayons »).

Ci-contre trois images du même « quaternion » avec 8, 10 et 12 iterations.

C’est un domaine qui a été abordé très tôt par Mandelbrot, comme nous l’avons signalé précédemment. La méthode la plus simple pour créer un relief fractal est la méthode de déplacement du point médian.

Une surface plane est découpée en plusieurs parties par un maillage (carré par exemple) et un déplacement vertical aléatoire est appliqué au centre de chaque maille. Chaque partie est à sont tour subdivisée en surfaces plus petites par le même mécanisme et on applique au centre de chacune d’elles un nouveau déplacement vertical aléatoire. On recommence un nombre suffisant de fois pour avoir des détails de taille assez petite afin que l’image soit réaliste.

C’est manifestement une méthode récursive, comme on en rencontre dans toutes les constructions fractales. Pour que le relief soit vraisemblable il faut que le déplacement vertical maximum applicable à une maille soit une fraction du déplacement maximum défini pour l’itération précédente, afin que les grandes mailles déterminent les caractéristiques générales du relief, que les mailles de taille moyenne représentent des accidents de moindre amplitude et que les plus petites déterminent la rugosité de la surface du sol.

Cette méthode a l’avantage d’être simple à comprendre mais les reliefs peuvent présenter des artéfacts sous forme de discontinuités peu vraisemblables. Une méthode plus élaborée repose sur l’utilisation d’une fonction décrivant un mouvement brownien fractionnaire. En gros cette fonction représente la somme d’un grand nombre (en théorie infini) de fonctions sinusoïdales dont les phases sont décalées de façon aléatoire et dont l’amplitude est une fonction f—>1/fβ de la fréquence f, avec 1<=β<=3(<= étant mis pour « inférieur ou égal à »).

Cette méthode a été suggérée initialement par Mandelbrot puis développée et complexifiée par son élève Ken Musgrave de façon à fournir des images encore plus réalistes que celles obtenues en utilisant uniquement le mouvement brownien fractionnaire.

Notons au passage que la fonction de distribution des amplitudes en 1/f se rencontre aussi dans divers autres problèmes traités par les fractales, comme la répartition des bruits parasites dans les circuits.


Exemple de paysage obtenu très facilement avec le programme Terragen.

Il est difficile de savoir, pour les programmes de paysages fractals élaborés, quelle est la proportion d’algorithmes fractals et non fractals utilisés. Dans tous les cas le réseau de mailles calculé est un squelette à partir duquel la véritable image est obtenue par des méthodes de lissage et de lancer des rayons (de la même manière que dans les jeux informatiques les images sont en réalités obtenues par la décomposition de l’objet en une série de triangles dont les déformations sont calculées en fonction du déplacement de l’objet, du personnage ou de la scène ; or à l’arrivée on ne voit pas les triangles, mais des surfaces en relief sur lesquelles ont été ajoutés des effets de texture, d’ombre et de lumière).

Le concept de fractale a permis de comprendre de nombreuses structures et de nombreux phénomènes naturels ou artificiels.

Il a permis de modéliser ces structures et ces phénomènes avec un réalisme parfois impressionnant.

Divers exemples sont donnés dans cet article, mais la compréhension et la modélisation ne débouchent pas forcément sur des applications directes. Par exemple si de nombreuses études ont porté sur la nature fractale des cours boursiers, cela ne signifie nullement que cette théorie permet de prévoir l’évolution de la bourse.

Parmi les domaines intéressants citons entre autres l’explication de certains aspects importants de la structure de l’univers par une répartition fractale ; l’application des fractales à l’étude de la percolationdans les sols (mais un important spécialiste de ce domaine d’application des fractales, employé par une grande compagnie pétrolière, avouait dans un article récent qu’il est nécessaire de compléter l’approche fractale par d’autres études plus traditionnelles) ; la modélisation des plantes par les L-systèmes ; la mise en évidence d’une structure fractale dans des électro-encéphalogrammes pathologiques ; la compréhension et le calcul de certains phénomènes aléatoires (comme les bruits parasites dans les circuits électroniques) qui n’obéissent pas aux lois statistiques traditionnellement enseignées ; les relations étroites entre les théories du chaos déterministe et les fractales (or l’étude du chaos est capitale dans de nombreux domaines allant de l’hydrodynamique à l’évolution de certaines populations animales, en passant sur les conditions de stabilité, ou d’instabilité, des émissions des lasers).

Mais il y a peu d’applications directes. Incontestablement un domaine qui a fait l’objet de nombreuses études est la compression d’images par des procédés dérivés des IFS. Toutefois malgré des résultats prometteurs cette méthode n’a pas détrôné la compression JPG que tout le monde connaît, même si ses résultats rivalisent avec cette méthode classique. Un autre domaine d’application est la fabrication d’antennes radio fractales. Leur intérêt est, par reploiement, d’occuper une faible place tout en ayant un très bon rendement dans le domaine multi-bandes ou large bande d’émission.

Mais le domaine où les fractales sont les plus exploitées est celui de l’art graphique ou, dans une moindre mesure, musical. En première ligne viennent les images provenant de l’itération de polynômes complexes mais d’autres techniques, en particulier les IFS sont également employées. Des paysages fractals de synthèse ont été utilisés par exemple dans le film de science fiction Star Treck II.

Un autre dossier sera consacré prochainement à l’utilisation artistique des fractales.

A découvrir également le dossier d’Evelyne Lutton :

Bio-inspirations, fractales, complexité et émergence